【题目】如图,四棱锥 底面 为菱形,平面 平面 , , , , 为 的中点.
(1)证明: ;
(2)二面角 的余弦值.
【答案】
(1)解:取 的中点 ,连接 为菱形, ,
分别为 的中点, .
为 的中点, ,
又 面 面 ,
面 面 面 ,
,
面
(2)解:连接 为菱形,
为等边三角形, 为 的中点, ,
面 两两垂直.
以 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直接坐标系 ,则 为面 的法向量,
设面 的法向量 ,
则 即 ,取 ,则 , ,
,
结合图形可知二面角 的余弦值为
【解析】(1)根据题目中所给的条件的特点,取AD的中点O,连接OP,OE,BD,由已知可得BD⊥AC,又O、E分别为AD,AB的中点,可得OE∥BD,得到AC⊥OE.再由PA=PD,O为AD的中点,得到PO⊥AD,结合面面垂直的性质可得PO⊥AC,再由线面垂直的判定可得AC⊥面POE,从而得到AC⊥PE;
(2)用空间向量求平面间的夹角. 以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O-xyz,得到A,B,P的坐标,可得平面PAD的一个法向量,再求得面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-PA-B的余弦值.训练了利用空间向量求解二面角的平面角.
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【题目】(本小题满分12分)设各项均为正数的等比数列中,
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求证: ;
(3)是否存在正整数,使得对任意正整数均成立?若存在,求出的最大值,若不存在,说明理由.
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【题目】已知集合A={x|log2x>2}, ,则下列结论成立的是( )
A.A∩B=A
B.(RA)∩B=A
C.A∩(RB)=A
D.(RA)∩(RB)=A
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【题目】某校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和杨老师负责.每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和杨老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或杨老师所发活动通知信息的概率为
A. B. C. D.
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【题目】以下四个命题: ①已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)的值为 ;
②设a、b∈R,则“log2a>log2b”是“2a﹣b>1”的充分不必要条件;
③函数f(x)= ﹣( )x的零点个数为1;
④命题p:n∈N,3n≥n2+1,则¬p为n∈N,3n≤n2+1.
其中真命题的序号为 .
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