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【题目】如图,四棱锥 底面 为菱形,平面 平面 , , , , 的中点.

(1)证明:
(2)二面角 的余弦值.

【答案】
(1)解:取 的中点 ,连接 为菱形,
分别为 的中点, .
的中点,





(2)解:连接 为菱形,
为等边三角形, 的中点,
两两垂直.
分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直接坐标系 ,则 为面 的法向量,
设面 的法向量
,取 ,则

结合图形可知二面角 的余弦值为
【解析】(1)根据题目中所给的条件的特点,取AD的中点O,连接OP,OE,BD,由已知可得BD⊥AC,又O、E分别为AD,AB的中点,可得OE∥BD,得到AC⊥OE.再由PA=PD,O为AD的中点,得到PO⊥AD,结合面面垂直的性质可得PO⊥AC,再由线面垂直的判定可得AC⊥面POE,从而得到AC⊥PE;
(2)用空间向量求平面间的夹角. 以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O-xyz,得到A,B,P的坐标,可得平面PAD的一个法向量,再求得面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-PA-B的余弦值.训练了利用空间向量求解二面角的平面角.

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其中真命题的序号为

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