分析 (1)推导出BC⊥AB,BC⊥AF,AF⊥BF,由此能证明AF⊥平面FBC.
(2)分别以AD、AB、AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B-FC-D的正弦值.
解答 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴BC⊥AB,
又平面ABGE⊥平面ABCD,
∴BC⊥平面ABGE,
∵AF?平面ABGE,∴BC⊥AF,
在△AFB中,AF=BF=$\sqrt{2}$,AB=2,
∴AF2+BF2=AB2,即AF⊥BF,
∵BF∩BC=B,∴AF⊥平面FBC.
解:(2)分别以AD、AB、AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),D(1,0,0),C(1,2,0),E(0,0,1),B(0,2,0),F(0,1,1),
∵$\overrightarrow{DC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{DE}$=(-1,0,1),
设平面CDEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,1),
∵AF⊥平面FBC,∴平面FBC的一个法向量$\overrightarrow{AF}$=(0,1,1),
设二面角B-FC-D的平面角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{1}{2}$,
∴sinθ=$\sqrt{1-(\frac{1}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴二面角B-FC-D的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | 85,4.84 | B. | 85,1.6 | C. | 86,1.6 | D. | 86,4 |
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