Question

8．如图，三棱柱ADE-BCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EA⊥AB，AD=AE=EF=1，平面ABGE⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥平面FBC；
（2）求二面角B-FC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AB，BC⊥AF，AF⊥BF，由此能证明AF⊥平面FBC．
（2）分别以AD、AB、AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-FC-D的正弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
又平面ABGE⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ABGE，
∵AF?平面ABGE，∴BC⊥AF，
在△AFB中，AF=BF=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AF²+BF²=AB²，即AF⊥BF，
∵BF∩BC=B，∴AF⊥平面FBC．
解：（2）分别以AD、AB、AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，2，0），E（0，0，1），B（0，2，0），F（0，1，1），
∵$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，1），
设平面CDEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵AF⊥平面FBC，∴平面FBC的一个法向量$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），
设二面角B-FC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角B-FC-D的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．