Question

已知函数f(x)=sin

x

2

+2cos2

x

4

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的分别是a、b、c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把函数的第二项减1，利用二倍角的余弦函数公式化简，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数的形式，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出函数的最小正周期；
（2）利用正弦定理化简（2a-c）cosB=bcosC后，利用两角和的正弦函数公式及三角形的内角和公式和诱导公式化简可得cosB的值，根据cosB的值大于0和B的范围即可求出B的度数，利用三角形的内角和定理即可求出A+C的度数得到A的范围，然后根据A的范围求出

A

2

+

π

4

的范围，由正弦函数的图象可知f（A）的范围．

解答：解：（1）f(x)=sin

x

2

+(2cos2

x

4

-1)+1=sin

x

2

+cos

x

2

+1=

2

sin(

x

2

+

π

4

)+1（4分）
∴f（x）的最小正周期为T=4π；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，得到B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，
又∵f(A)=

2

sin(

A

2

+

π

4

)+1，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

4

＜

A

2

+

π

4

＜

7π

12

，
又∵sin

π

4

＜sin

7π

12

，
∴

2

2

＜sin(

A

2

+

π

4

)≤1，
∴2＜f(A)≤

2

+1．

点评：此题要求学生掌握正弦函数最小正周期的公式，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握正弦函数的图象，会根据角度的范围求出正弦函数值的范围，是一道综合题．