Question

【题目】已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R），g（x）＝x2emx（m∈R，e为自然对数的底数）．

（1）讨论函数f（x）的单调性及最值；

（2）若a＞0，且对x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（﹣∞，﹣ln2]

【解析】

（1）．对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出；（2）原命题等价于，且对，，恒成立．由（1）可知：当时，函数在单调递增，故在，上单调递增，可得（1）．对，，恒成立对，，恒成立．对分类讨论：利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．

（1）＝a+（x∈（0，+∞））．

当a≥0时，≥0，

∴f（x）在x∈（0，+∞）单调递增，无最值．

当a＜0时，（x∈（0，+∞））．

可得函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

当x＝时，函数f（x）取得极小值即最小值，且最大值为f（）＝﹣1﹣ln（﹣a），无最大值．

（2）a＞0，且对x1，x2∈[0，2]，f（x1+1）≥g（x2）+a﹣1恒成立，等价于a＞0，且对x∈[0，2]，f（x+1）min≥g（x）max+a﹣1恒成立．

由（1）可知：当a＞0时，函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增，故y＝f（x+1）在x∈[0，2]上单调递增，

∵x∈[0，2]，∴（x+1）∈[1，3]，故f（x+1）min＝f（1）＝a．

∴对x∈[0，2]，f（x+1）min≥g（x）max+a﹣1恒成立对x∈[0，2]，g（x）max≤1恒成立．

对m分类讨论：m＝0时，g（x）＝x2，x＝0，函数g（x）取得最大值，g（2）＝4，不满足g（x）max≤1．

当m≠0时，＝2xemx+mx2emx＝xemx（mx+2）．令＝0，解得x＝0，x＝﹣．

①当﹣≥2，即﹣1≤m＜0时，对x∈[0，2]，≥0，因此g（x）在此区间上单调递增．∴g（x）max＝g（2）＝4e2m．

由4e2m≤1，解得m≤﹣ln2．∴﹣1≤m≤﹣ln2．

②当2＞﹣＞0，即m＜﹣1时，可得函数g（x）在x∈[0，﹣）上单调递增，在（﹣，2]上单调递减．

∴g（x）max＝g（﹣）＝e﹣2．由e﹣2≤1，解得m≤﹣．∴m＜﹣1．

③当﹣≤0，即m＞0时，对x∈[0，2]，≥0，因此g（x）在此区间上单调递增．∴g（x）max＝g（2）＝4e2m．

此时4e2m≤1，不成立，舍去．

综上可得：实数m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．