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如图,椭圆的离心率为轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。轴的交点为,过坐标原点的直线相交于点,直线分别与相交于点

(1)求的方程;
(2)求证:
(3)记的面积分别为,若,求的取值范围。
(1);(2)见解析;(3) .

试题分析:(1)利用椭圆的几何性质,建立的方程组即得;
(2)通过设直线并联立 应用韦达定理及平面向量的坐标运算证得,从而得到 ;
(3)通过设直线,联立方程组
联立
利用三角形面积公式分别计算,用表示,从而得到.
试题解析:
(1)              (1分)
,得           (2分)
(2)设直线  (3分)
=0
                        (5分)
(3)设直线
,同理可得 
            (8分)

同理可得
               (2分)
              (13分)
练习册系列答案
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已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆两点,当时求直线的方程

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椭圆的离心率为,且过点直线与椭圆M交于A、C两点,直线与椭圆M交于B、D两点,四边形ABCD是平行四边形
(1)求椭圆M的方程;
(2)求证:平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O;
(3)若平行四边形ABCD为菱形,求菱形ABCD的面积的最小值

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点,动点满足:,且
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知圆W: 的切线与轨迹相交于P,Q两点,求证:以PQ为直径的圆经过坐标原点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.
(1)问:直线能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;
(2)已知的中点,且点在椭圆上.若,求椭圆的离心率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C=1(ab>0)的离心率为,一条准线lx=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,Ml上的点,F为椭圆C的右焦点,过点FOM的垂线与以OM为直径的圆D交于PQ两点.
①若PQ,求圆D的方程;
②若Ml上的动点,求证点P在定圆上,并求该定圆的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于PQ两点,且|PQ|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点MN,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆,过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线,分别交椭圆两点.则直线的斜率为          .

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线交抛物线两点.若该抛物线上存在点,使得,则的取值范围为_________.

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