Question

1．已知函数f（x）=（ax³+5x²-7x+7）e^x，其中a∈R
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=-2代入f（x），求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥-$\frac{5x+3}{{x}^{2}+3x}$在[1，3]恒成立，通过求导得到函数的最大值，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）a=-2时，f（x）=（-2x³+5x²-7x+7）e^x，
∴f′（x）=-e^xx（2x+3）（x-1），
当x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x∈（-$\frac{3}{2}$，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）_极大值=f（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{29}{2}$${e}^{-\frac{3}{2}}$，f（x）_极大值=f（1）=3e，f（x）_极小值=f（0）=7；
（Ⅱ）∵f′（x）=（ax³+3ax²+5x²+3x）e^x，
若f（x）在[1，3]上单调递增，
只需f′（x）≥0在[1，3]恒成立即可，
即a≥-$\frac{5x+3}{{x}^{2}+3x}$在[1，3]恒成立即可，
设h（x）=$\frac{5x+3}{{x}^{2}+3x}$，则h′（x）=$\frac{-{5x}^{2}-6x-9}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$＜0，
∴函数h（x）在[1，3]上单调递减，
∴h（x）_min=h（3）=1，
∴a≥-1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．