Question

【题目】已知数集A={a1 ， a2…an}（0≤a1＜a2…＜an ， n≥2）具有性质P；对任意的 i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a1=0，且nan=2（a1+a2+a+..+an）
（3）当n=5时若 a2=2，求集合A．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于0+1，0+2，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3，都属于数集{0，1，3，4}，

∴该数集具有性质P．

由于2+3与3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，∴该数集不具有性质P

（2）证明：令j=n，i＞1，则∵“ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A”，

∴ai+aj不属于A，∴an﹣ai属于A．

令i=n﹣1，那么an﹣an﹣1是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．

如果是a3或者a4，那么可知an﹣a3=an﹣1，那么an﹣a2＞an﹣a3=an﹣1，只能是等于an了，矛盾．

所以令i=n﹣1可以得到an=a2+an﹣1，

同理，令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到an=ai+an+1﹣i，

∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+an= an．

即nan=2（a1+a2+a+..+an）

（3）解：当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，

由A具有性质P，a5﹣ai∈A，又i=1时，a5﹣a1∈A，

∴a5﹣ai∈A，i=1，2，3，4，5

∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，

则a5﹣a1=a5，a5﹣a2=a4，a5﹣a3=a3，

从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4﹣a3=a3﹣a2＜a3，

又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4A，则a4﹣a3∈A，则有a4﹣a3=a2=a2﹣a1．

又∵a5﹣a4=a2=a2﹣a1，∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1=a2，

即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2=2等差数列，

∴A={0，2，4，6，8}

【解析】（1）利用ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．（2）令j=n，i＞1，由“ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A”，可得an﹣ai属于A．令i=n﹣1，那么an﹣an﹣1是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．同理可得：令i=n﹣1可以得到an=a2+an﹣1 ， 令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到an=ai+an+1﹣i ， 倒序相加即可得到．（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5 ， 由A具有性质P，a5﹣ai∈A，又i=1时，a5﹣a1∈A，可得a5﹣ai∈A，i=1，2，3，4，5，a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，则a5﹣a1=a5 ， a5﹣a2=a4 ， a5﹣a3=a3 ， 又a3+a4＞a2+a4=a5 ， 可得a3+a4A，则a4﹣a3∈A，则有a4﹣a3=a2=a2﹣a1 ． 可得a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5是首项为0，公差为a2=2等差数列．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．