Question

设点P是曲线f（x）=x³-x+

2

3

上的任意一点，P点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）

• A．[

  3

  4

  π，π）
• B．（

  π

  2

  ，

  5

  6

  π]
• C．[0，

  π

  2

  )∪[

  5π

  6

  ，π)
• D．[0，

  π

  2

  )∪[

  3π

  4

  ，π)

Answer 1

分析：因为曲线的切线的斜率是倾斜角的正切值，所以要求点P处的倾斜角的取值范围，只需求出点P处的斜率的取值范围，而斜率又是切点处的导数，所以只要求出函数在切点处的导数的取值范围即可．

解答：解：f（x）=x³-x+

2

3

的导数为f′（x）=3x²-1，
设P点坐标为（x₀，y₀），P点处的切线的斜率为k，
∵函数在P点处的切线斜率是函数在P点处的导数，
∴k=3x₀²-1，
∵x₀²≥0，∴3x₀²-1≥-1
∴k≥-1
又∵k=tanα，∴tanα≥-1
当tanα≥0时，α∈[0，

π

2

）
当-1≤tanα＜0时，α∈[

3π

4

，π）
∴α的取值范围是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）
故选D

点评：本题主要考查了函数的导数与函数的切线的斜率的关系，直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于综合题．