已知函数f(x)=-x3-ax2+b2x+1(a、b∈R).
(1)若a=1,b=1,求f(x)的极值和单调区间;
(2)已知x1,x2为f(x)的极值点,且|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,若当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒小于m,求m的取值范围
(1)f(x)=-x3-x2+x+1,f′(x)=-3x2-2x+1
=-(3x-1)(x+1).
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,) |
(,+∞) |
|
f′(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
f(x) |
减 |
极小 值0 |
增 |
极大 值 |
减 |
f(x)的极大值为,极小值为0.
f(x)的单调增区间为,单调减区间为(-∞,-1),.
(2)∵f(x)=-x3-ax2+b2x+1,
∴f′(x)=-3x2-2ax+b2,又x1,x2为f(x)的极值点,
∴x1,x2为方程-3x2-2ax+b2=0的两根,
x1+x2=-,x1x2=-,
∵|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,
∴|-x-ax+b2x1+1+x+ax-b2x2-1|=|x1-x2|,
整理得|x+x1x2+x+a(x1+x2)-b2|=,
即=,
∴a2+3b2=1,∴a2≤1.
∵k=f′(x)=-3x2-2ax+b2=-3x2-2ax+,
f′(x)max=f′=,
∴m>.
【解析】略
科目:高中数学 来源:2011届南京市金陵中学高三第四次模拟考试数学试题 题型:解答题
(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a为正数).
(1) 若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的单调区间;
(3) 设g(x)=x2-2x,若对任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省杭州市高三上学期开学考试数学卷 题型:选择题
已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的范围是( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖北省天门市高三天5月模拟文科数学试题 题型:填空题
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x无实根,下列命题中:
(1)方程f [f (x)]=x一定无实根;
(2)若a>0,则不等式f [f (x)]>x对一切实数x都成立;
(3)若a<0,则必存在实数x0,使f [f (x0)]>x0;
(4)若a+b+c=0,则不等式f [f (x)]<x对一切x都成立;
正确的序号有 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2012届江西省南昌市高三第一次模拟测试卷理科数学试卷 题型:选择题
已知函数f(x)=|lg(x-1)|-()x有两个零点x1,x2,则有
A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2
C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com