Question

已知函数f（x）=-x²+8x，g（x）=6lnx+m．
（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中的一动一定的问题，解题时要针对于二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边．
（2）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题，一般是构造新函数，题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果．

解答：解：（I）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
h（t）=f（t）=-t²+8t．
综上，h(t)=

-t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t2+8t，t＞4

（II）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
即函数m（x）=g（x）-f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=x²-8x+6lnx+m，
∴?′(x)=2x-8+

6

x

=

2x2-8x+6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

(x＞0)，
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m'（x）=0．
∴m（x）_最大值=m（1）=m-7，m（x）_最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

?(x)最大值=m-7＞0 ?(x)最小值=m+6ln3-15＜0

即7＜m＜15-6ln3．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-6ln3）．

点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．