【题目】设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的,都有成立,称函数与在上互为“互换函数”.
(1)函数与在上互为“互换函数”,求集合;
(2)若函数 (且)与在集合上互为“互换函数”,求证:;
(3)函数与在集合且上互为“互换函数”,当时,,且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式.
【答案】(1)(2)见解析(3),
【解析】
(1)利用列方程,并用二倍角公式进行化简,求得或,进而求得集合.
(2)由,得(且),化简后根据的取值范围,求得的取值范围.
(3)首先根据为偶函数,求得当时,的解析式,从而求得当时,的解析式.依题意“当,恒成立”,化简得到,根据函数解析式的求法,求得时,以及,进而求得函数在集合上的解析式.
(1)由得
化简得,,所以或.
由解得或,,
即或,.
又由解得 ,.
所以集合,或,
即集合.
(2)证明:由,得(且).
变形得 ,所以.
因为,则 ,所以 .
(3)因为函数在上是偶函数,则 .当,则,所以.所以 ,
因此当时,.
由于与函数在集合上“互换函数”,
所以当,恒成立.
即对于任意的恒成立.
即.
于是有,
,.
上述等式相加得 ,即.
当()时,,
所以 .
而,,
所以当时,
,
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【题目】如图,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分别为,AC,,的中点,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.
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【题目】设函数.
(1)当时,求函数在区间上的值域;
(2)设函数的定义域为I,若,且,则称为函数的“壹点”,已知在区间上有4个不同的“壹点”,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
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【题目】已知函数,。
Ⅰ.求函数的最小正周期和单调递增区间;
Ⅱ.当时,方程恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
Ⅲ.将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称,求的最小值。
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