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【题目】设函数都是定义在集合上的函数,对于任意的,都有成立,称函数上互为互换函数

1)函数上互为互换函数,求集合

2)若函数 )与在集合上互为互换函数,求证:

3)函数在集合上互为互换函数,当,,且上是偶函数,求函数在集合上的解析式.

【答案】12)见解析(3

【解析】

1)利用列方程,并用二倍角公式进行化简,求得,进而求得集合.

2)由,得),化简后根据的取值范围,求得的取值范围.

3)首先根据为偶函数,求得当时,的解析式,从而求得当时,的解析式.依题意“当恒成立”,化简得到,根据函数解析式的求法,求得时,以及,进而求得函数在集合上的解析式.

1)由

化简得,,所以

解得

又由解得

所以集合,或

即集合

2)证明:由,得).

变形得 ,所以

因为,则 ,所以

3)因为函数上是偶函数,则 .当,则,所以.所以

因此当时,

由于与函数在集合互换函数

所以当恒成立.

对于任意的恒成立.

于是有

上述等式相加得 ,即

)时,

所以

所以当时,

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