Question

【题目】

已知函数f(x)＝xln x－x.

(Ⅰ)求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)若x>0，f(x)＋ax2≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值. (2)

【解析】试题分析：(1) x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，讨论f′(x)的符号，求出f(x)的单调区间，从而求出函数的极值；（2）x>0，f(x)＋ax2≤0成立通过变量分离转化为a≤在(0，＋∞)上恒成立问题即可.

试题解析：

(Ⅰ)依题意，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，

令f′(x)＝0，得x＝1，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

∴当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值.

(Ⅱ)x>0，f(x)＋ax2≤0，a≤－，

令g(x)＝－，

g′(x)＝－－＝，

当0<x<e2时，g′(x)<0，当x>e2时，g′(x)>0，

∴g(x)在(0，e2]上是减函数，在[e2，＋∞)上是增函数，

∴g(x)min＝g(e2)＝－＝－，

∴a≤－，∴a的取值范围是.