Question

9．已知f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-10lnx，h（x）=-x²+（m-2）x+6．
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=4时，对于任意x₁，x₂∈（0，1），均有h（x₁）≥f（x₂）恒成立，试求参数m的取值范围；
（Ⅲ）当a∈[5，+∞）时，曲线y=f（x）总存在相异的两点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x₁x₂＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，分离参数求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出h（x）_min和f（x）_max，得到关于m的不等式组，解出即可；
（Ⅲ）求出函数的导数，得到$a=\frac{{10{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}≥5$，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{10}{x}=\frac{{a{x^2}-10x+a}}{x^2}$…（2分）
对于任意（0，+∞）上，满足f'（x）≥0，
即$a{x^2}-10x+a≥0，a≥\frac{10x}{{{x^2}+1}}$．
而$\frac{10x}{{{x^2}+1}}≤5$，当且仅当x=1时，取最大值5，
所以a≥5．…（4分）
（Ⅱ）$f（x）=4x-\frac{4}{x}-10lnx$，
$f'（x）=4+\frac{4}{x^2}-\frac{10}{x}=\frac{2（2x-1）（x-2）}{x^2}$．
令f'（x）=0，可得${x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=2$，
所以函数f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$单调递增，在$（\frac{1}{2}，1）$单调递减，
所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{2}）=-6+10ln2$，…（6分）
h（x₁）≥f（x₂）恒成立，
满足h（x）_min≥f（x）_max，
即$\left\{{\begin{array}{l}{h（0）≥f{{（x）}_{max}}}\\{h（1）≥f{{（x）}_{max}}}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{6≥-6+10ln2}\\{-1+m-2+6≥-6+10ln2}\end{array}}\right.}\right.$⇒m≥-9+10ln2，
所以m的取值范围是[-9+10ln2，+∞）…（8分）
（Ⅲ）由题意可知，当a∈[5，+∞）时，
f'（x₁）=f'（x₂）（x₁，x₂＞0且x₁≠x₂），
$f'（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{10}{x}=\frac{{a{x^2}-10x+a}}{x^2}$，
可得$a+\frac{a}{{{x_1}^2}}-\frac{10}{x_1}=a+\frac{a}{{{x_2}^2}}-\frac{10}{x^2}⇒\frac{a（x_2^2-x_1^2）}{x_1^2x_2^2}=\frac{{10（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
$a=\frac{{10{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}≥5$（10分）
可得$2{x_1}{x_2}≥{x_1}+{x_2}＞2\sqrt{{x_1}{x_2}}⇒{x_1}{x_2}＞1$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．