Question

已知函数f（x）=lnx+

3

2

x2-mx
（Ⅰ）若函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于

π

3

，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，若存在x₀∈[1，2]，不等式|a+3x₀|-x₀f′（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围；
（III）已知k∈R，讨论关于x的方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在区间[2，4]上的实根个数（e≈2.71828）

Answer 1

分析：（I）先求导函数，然后将函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于

π

3

转化成f′（x）≥tan

π

3

=

3

在（0，+∞）上恒成立，利用参数分离法可求出m的取值范围；
（II）根据绝对值不等式的性质化简不等式，然后利用参数分离法将a分离，最后利用存在性问题的常用方法进行求解即可；
（III）将k分离，然后利用导数研究函数的单调性，得到函数的最值，利用数形结合法可求出根的个数．

解答：解：（I）∵f（x）=lnx+

3

2

x2-mx（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

+3x-m
∵函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角均不小于

π

3

，
∴f′（x）=

1

x

+3x-m≥tan

π

3

=

3

在（0，+∞）上恒成立，①或f′（x）=

1

x

+3x-m≤0在（0，+∞）上恒成立，②
对于①，不等式等价于m≤

1

x

+3x-

3

在（0，+∞）上恒成立，而

1

x

+3x-

3

在（0，+∞）上的最小值为

3

，
∴m≤

3

，
对于②，不等式等价于m≥

1

x

+3x在（0，+∞）上恒成立，
∴m不存在，
综合①②，实数m的取值范围为m≤

3

；
（II）当m=2时，f′（x）=

1

x

+3x-2
不等式|a+3x₀|-x₀f′（x₀）＜0即为不等式|a+3x₀|-x₀（

1

x0

+3x₀-2）＜0
化简得不等式|a+3x₀|＜3x₀²-2x₀+1
即-3x₀²+2x₀-1＜a+3x₀＜3x₀²-2x₀+1
∴存在x₀∈[1，2]，使得不等式-3x₀²-x₀-1＜a＜3x₀²-5x₀+1成立
即（-3x₀²-x₀-1）_min＜a＜（3x₀²-5x₀+1）_max
即-15＜a＜3
（III）∵f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k
∴lnx+

3

2

x2=

4

3

(x2+x)+k
即k=lnx+

1

6

x²-

4

3

x
令g（x）=lnx+

1

6

x²-

4

3

x（x∈[2，4]）
则g′（x）=

1

x

+

1

3

x-

4

3

=

x2-4x+3

3x

=

(x-1)(x-3)

3x

当x∈[2，3）时，g′（x）＜0，当x∈（3，4]时，g′（x）＞0
∴函数g（x）在[2，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增
则当x=3时函数g（x）取最小值g（3）=ln3-

5

2

，而g（2）=ln2-2，g（4）=ln4-

8

3

∴当k＜ln3-

5

2

或k＞ln4-

8

3

时方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在区间[2，4]上的实根个数为0
当k=ln3-

5

2

或ln2-2＜k＜ln4-

8

3

时方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在区间[2，4]上的实根个数为1
当ln3-

5

2

＜k≤ln2-2时方程f（x）+mx=

4

3

(x2+x)+k在区间[2，4]上的实根个数为2

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及参数分离法研究恒成立和存在性问题，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．