Question

不等式4≤3sin²x-cos²x-4cosx+a≤20恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：设y=3sin²x-cos²x-4cosx+a=-4(cosx+

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)2+4+a，-1≤cosx≤1，利用二次函数的性质求得y有最小值为a-5，最大值为 4+a，从而得到a-5≥4，4+a≤20，由此求得a的取值范围．

解答：解：设y=3sin²x-cos²x-4cosx+a=-4cos²x-4cosx+3+a=-4(cosx+

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)2+4+a，-1≤cosx≤1．
故当cosx=1时，函数y有最小值为-9+4+a=a-5； 当cosx=-

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时，函数y有最大值为 4+a．
又不等式4≤3sin²x-cos²x-4cosx+a≤20恒成立，∴a-5≥4，4+a≤20．
解得 9≤a≤16，即a的取值范围为[9，16]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，求二次函数在闭区间上的最值，以及函数的恒成立问题，属于中档题．