【题目】已知函数.
(1)求函数的最小值及曲线在点处的切线方程;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)最小值为;切线方程为;(2).
【解析】
试题分析:(1)首先求得函数的定义与导函数,然后根据导函数与0的关系得到函数的单调性,由此求得函数的最小值,再根据导数的几何意义求得切线方程的斜率,从而求得切线的方程;(2)首先将问题转化为在上恒成立,然后设,从而通过求导研究函数的单调性,并求得其最大值,进而求得的取值范围.
试题解析:(1)函数的定义域为,
,
令,得;令,得;令,得;
故函数在上单调递减,在上单调递增,
故函数的最小值为...........................4分
,即切线的斜率为2,
故所求切线方程为,即,
化简得.................................................6分
(2)不等式恒成立等价于在上恒成立,可得在上恒成立,
设,则,
令,得,或(舍去)
当时,;当时,,
当变化时变化情况如下表:
1 | |||
0 | |||
单调递增 | -2 | 单调递减 |
所以当时,取得最大值,,所以,
所以实数的取值范围是................................12分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数据,,,…,是枣强县普通职工(,)个人的年收入,设个数据的中位数为,平均数为,方差为,如果再加上世界首富的年收入,则这个数据中,下列说法正确的是( )
A.年收入平均数大大增加,中位数一定变大,方差可能不变
B.年收入平均数大大增加,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增加,中位数可能不变,方差也不变
D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
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【题目】已知函数(其中)
(Ⅰ) 若在其定义域内为单调递减函数,求的取值范围;
(Ⅱ) 是否存在实数,使得当时,不等式恒成立,如果存在,求的取值范围,如果不存在,说明理由(其中是自然对数的底数,=2.71828…).
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【题目】某企业开发一种新产品,现准备投入适当的广告费,对产品进行促销,在一年内,预计年销量Q(万件)与广告费x(万件)之间的函数关系为,已知生产此产品的年固定投入为3万元,每年产1万件此产品仍需要投入32万元,若年销售额为,而当年产销量相等。
(1)试将年利润P(万件)表示为年广告费x(万元)的函数;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?
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