【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线在点的切线方程;
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1);(2)当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.
【解析】
(1)根据导数的几何意义求解即可.
(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.
(1)当时,,则切线的斜率为.
又,则曲线在点的切线方程是,
即.
(2)的定义域是.
.
①当时,,所以当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减;
②当时,,所以当和时,;当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减;
③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增;
④当时,,
所以和时,;时,.
所以在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为常数且,为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若和相交于、两点,以线段为一条边作的内接矩形,当矩形的面积取最大值时,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线经过点.曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方),求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)写出圆C1的极坐标方程,并求圆C1与圆C2的公共弦的长度d;
(2)设射线θ=与圆C1异于极点的交点为A,与圆C2异于极点的交点为B,求|AB|.
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【题目】第七届世界军人运动会(以下简称武汉军运会)专题新闻发布会在武汉举行,武汉军运会会徽、吉祥物正式公布.武汉军运会将于年月日举行,赛期天.若将名志愿者分配到两个运动场馆进行服务,每个运动场馆至少名志愿者,则其中志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆的概率为______.
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【题目】某手机软件研发公司为改进产品,对软件用户每天在线的时间进行调查,随机抽取40名男性与20名女性对其每天在线的时间进行了调查统计,并绘制了如图所示的条形图,其中每天的在线时间4h以上(包括4h)的用户被称为“资深用户”.
(1)根据上述样本数据,完成下面的2×2列联表,并判定是否有95%的把握认为是否为“资深用户”与性别有关;
“资深用户” | 非“资深用户” | 总计 | |
男性 | |||
女性 | |||
总计 |
(2)用样本估计总体,若从全体用户中随机抽取3人,设这3人中“资深用户”的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
附:,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为,在同一平面直角坐标系中,将曲线上的点按坐标变换得到曲线,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)若过点(极坐标)且倾斜角为的直线与曲线交于两点,弦的中点为,求的值.
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