Question

设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足条件：
①对称轴方程是x=-1；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）不等式f（x-t）≤x的解集是[4，m]（m＞4），求t，m的值．

Answer 1

分析：（1）对称轴的计算公式可得到a，b的关系，函数f（x）的图象与直线y=x相切，则可知函数与直线的方程组只有一解，由这两个条件，可得a，b的值，从而得到函数解析式．
（2）首先算出f（x-t），代入不等式可知f（x-t）=x的根为4和m，分别代入，即可得到4和m的值．

解答：解：（I）∵二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴方程是x=-1
∴b=2a∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴方程组

y=ax2+bx y=x

有且只有一解；
即ax²+（b-1）x=0有两个相同的实根，
∴b=1，a=

1

2

．∴函数f（x）的解析式为f(x)=

1

2

x2+x．（7分）
（其它做法相应给分）

（II）∵不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）
即

1

2

(x-t)2+(x-t)≤x的解集为[4，m]．
∴方程

1

2

(x-t)2+(x-t)=x的两根为4和m．
即方程x²-2tx+t²-2t=0的两根为4和m．
∴

4+m=2t 4m=t2-2t

(m＞4)
解得，t=8，m=12，∴t和m的值分别为8和12．（13分）

点评：此题主要考查二次函数的解析式求解及根的求解和性质．