Question

14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=x³+（m+1）x²+mx（m为常数）．
（1）求f（x）在点M（-2，f（-2））处的切线方程；
（2）求过点P（-1，0）的曲线C的切线方程；
（3）证明：过点N（2，1）可以作曲线f（x）的三条切线；
（4）假设a＞0，如果过点（a，b）可以作曲线C的三条切线，证明-a＜b＜f（a）

Answer 1

分析 （1）利用减函数求出m，求出切点坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
（2）求出切点坐标，求出切线的斜率，然后求解切线方程．
（3）求出f′（x），根据切点为M（λ₀，f（λ₀））得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程，如果切点是N（2，1），由解答判断则存在t使1=2（3t²-1）x-2t³，于是过点N（2，1），可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t³-6t²+3=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t³-6t²+3=0，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到g（t）在R上中人有一个极大值3和一个极小值-5，即可得证．
（4）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t³-3at²+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=x³+（m+1）x²+mx，可得f（-x）=-f（-x），
可得m+1=0，解得m=-1．
函数为：f（x）=x³-x．切点坐标为：（-2，-6）．
f′（x）=3x²-1．f′（-2）=3（-2）²-1=11，
f（x）在点M（-2，f（-2））处的切线方程为：y+6=11（x+2），
即11x-y+16=0．
（2）设切点坐标为：（a，f（a）），f（a）=a³-a，
过点P（-1，0）的曲线C的切线的斜率为：$\frac{{a}^{3}-a}{a+1}$，
由（1）可知，f′（a）=3a²-1，
可得$\frac{{a}^{3}-a}{a+1}$=3a²-1，解得a=-1，a=$\frac{1}{2}$．
切点坐标为：（-1，0）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{8}$），
切线的斜率分别为：2，或$-\frac{1}{4}$．
过点P（-1，0）的曲线C的切线方程：y=2（x+1）或y=$-\frac{1}{4}$（x+1）．
即：2x-y+2=0，或x+4y+1=0．
（3）证明：函数f（x）的导函数；f'（x）=3x²-1．
曲线y=f（x）在点M（λ₀，f（λ₀））处的切线方程为：y-f（λ₀）=f'（λ₀）（x-λ₀），即y=（3λ₀²-1）x-2λ₀³；
如果切点是N（2，1），由上述解答可知，则存在t，使1=2（3t²-1）x-2t³．
于是方程2t³-6t²+3=0有三个相异的实数根．
记g（t）=2t³-6t²+3，则g′（t）=6t²-12t=6t（t-2）．
当t变化时，g（t），g′（t）变化情况如下表：t＜0或t＞2，g′（t）＞0，函数是增函数，t∈（0，2）h函数是减函数，由于g（t）在R上中有一个极大值3和一个极小值-5，故过点N（2，1）可以作曲线，f（x）=x³-x的三条切线．满足题意．
（4）证明：如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，
则方程2t³-3at²+a+b=0有三个相异的实数根．
记g（t）=2t³-3at²+a+b，则g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：

t	（-∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增	极大值a+b	减	极小值b-f（a）	增

由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b-f（a）＞0时，
方程g（t）=0最多有一个实数根；
当a+b=0时，解方程g（t）=0得t=0，t=$\frac{3a}{2}$，
即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；
当b-f（a）=0时，解方程g（t）=0得t=-$\frac{1}{2}$a，
即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．
综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，
即g（t）=0有三个相异的实数根，则$\left\{\begin{array}{l}a+b＞0\\ b-f（a）＜0\end{array}\right.$，
即-a＜b＜f（a）．

点评 考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别，会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值．