Question

【题目】（本小题满分14分）

已知， 为椭圆的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆上异于， 的动点，且面积的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以

为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为， ．

由题意知解得， ．

故椭圆的方程为，离心率为．……6分

（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．

证明如下：由题意可设直线的方程为 .

则点坐标为， 中点的坐标为．

由得．

设点的坐标为，则．

所以， ．……………………………10分

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，点的坐标为.

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．

当时，则直线的斜率.

所以直线的方程为．

点到直线的距离 ．

又因为，所以．

故以为直径的圆与直线相切．

综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的特征可得当点在点时， 面积最大，即可列，由题目条件知，结合，进而求得椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）设，由题意可设直线的方程为，可得点与中点的坐标，联立直线与椭圆的方程得，进而表示出点的坐标，结合点，再写出直线的方程，根据点到直线的距离等于直径的一半，进而解得此问．

试题解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为， ．

由题意知解得， ．

故椭圆的方程为，离心率为．

（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．

证明如下：由题意可设直线的方程为 ．

则点坐标为， 中点的坐标为．

由得．

设点的坐标为，则．

所以， ．

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，点的坐标为．

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．

当时，则直线的斜率．

所以直线的方程为．

点到直线的距离 ．

又因为，所以．

故以为直径的圆与直线相切．

综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．