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13.平面上若一个三角形的周长为L,其内切圆的半径为R,则该三角形的面积S=$\frac{1}{2}LR$,类比到空间,若一个四面体的表面积为S,其内切球的半径为R,则该四面体的体积V=$\frac{1}{3}$SR.

分析 根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.

解答 解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,
所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和S.
所以该四面体的体积为$\frac{1}{3}$SR,
故答案为:$\frac{1}{3}$SR.

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).

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