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(本题满分8分)

在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)

(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;

(Ⅱ)求二面角A1-BP-E的大小。

(本题满分8分)

解:不妨设正三角形的边长为3,则

(I)在图1中,取BE的中点D,连结DF,

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60o,∴△ADF为正三角形。

又AE=DE=1,∴EF⊥AD。

在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角,

由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE。

又BEEF=E,∴A1E⊥面BEF,即A1E⊥面BEP。(4分)

(II)在图2中,过E点作BP的垂线,并交BP于G点,连接A1G,由(I)知A1E⊥平面BEP,∴ A1GE即为二面角A1-BP-E的平面角,又A1E=1,GE=,∴A1GE=,∴A1GE=,即所求为。(8分)

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