Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）,则称以原点为圆心，r=的圆为椭圆C的“知己圆”。
（Ⅰ）若椭圆过点（0,1），离心率e=；求椭圆C方程及其“知己圆”的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若过点（0，m）且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2，求m的值；
（Ⅲ）讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.

Answer 1

（1）（2）  
（3）当r=c<b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点，圆在椭圆内；  12分
当r=c=b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点，交点是（0，1）和（0，-1）；
当r=c＞b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。

试题分析：（Ⅰ）∵ 椭圆C过点（0,1），由椭圆性质可得：b=1；
又∵椭圆C的离心率e=，即，且       2分
∴ 解得
∴所求椭圆C的方程为：                         4分
又∵
∴ 由题意可得椭圆C的“知己圆”的方程为：            6分
（Ⅱ）过点（0，m）且斜率为1的直线方程为y="x+m" 即：x-y+m=0
设圆心到直线的距离为d,则d=           8分
∴d=    解得：m=                          10分
（Ⅲ）∵称以原点为圆心，r=的圆为椭圆C的“知己圆”，此时r=c
∴ 当r=c<b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点，圆在椭圆内；  12分
当r=c=b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点，交点是（0，1）和（0，-1）；
当r=c＞b时，该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。            14分
点评：主要是考查了椭圆的几何性质以及新定义的理解和运用，属于中档题。