【题目】设直线l1 , l2分别是函数f(x)= 图象上点P1 , P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1 , l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
【答案】A
【解析】解:设P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)(0<x1<1<x2),当0<x<1时,f′(x)= ,当x>1时,f′(x)= ,∴l1的斜率 ,l2的斜率 ,
∵l1与l2垂直,且x2>x1>0,
∴ ,即x1x2=1.直线l1: ,l2: .
取x=0分别得到A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2),
|AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2.
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x= ,∴ |AB||xP|= = .∵函数y=x+ 在(0,1)上为减函数,且0<x1<1,∴ ,则 ,∴ .
∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).
故选:A.
设出点P1 , P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1 , P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围;本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题.
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【题目】已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1 , a14=b4 .
(1)求{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn , 求数列{cn}的前n项和.
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【题目】已知函数,其图象与x轴交于两点,且.
(1)证明: ;
(2)证明: ;(其中为的导函数)
(3)设点C在函数的图象上,且△ABC为等边三角形,记,求的值.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补全函数f(x)的图象;
(2)求出函数f(x)(x>0)的解析式;
(3)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=,其中a>0且a≠1,若a=时方程f(x)=b有两个不同的实根,则实数b的取值范围是______;若f(x)的值域为[3,+∞],则实数a的取值范围是______.
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【题目】如图,在圆锥PO中,已知,圆O的直径,C是弧AB的中点,D为AC的中点.
(1)求异面直线PD和BC所成的角的正切值;
(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
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