Question

【题目】若正数x，y满足x+3y=5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴y=＞0，解得．
∴3x+4y=3x+=f（x），
f′（x）=3+=，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＞x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值为1．
（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴5xy≥2，
解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．
∴xy的最小值为．
【解析】（1）法一：由正数x，y满足x+3y=5xy，可得y=＞0，解得.3x+4y=3x+=f（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】通过灵活运用基本不等式，掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：即可以解答此题．