Question

【题目】如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．

（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；
（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AB，

∵AB=10，∴正方形ABCD的面积为100，

又OA=OB=10，∴△AOB为正三角形，则 ，

而圆的面积为100π，∴扇形AOB得面积为 ，

又三角形AOB的面积为 ．

∴弓形面积为 ，

则广场面积为100+ （平方米）；

（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，

设∠OAD=θ（0＜θ＜ ），

则OH=10sinθ，AH=10cosθ，

∴DH=|AD﹣AH|=|2OH﹣AH|=|20sinθ﹣10cosθ|，

∴OD= = ．

∴当θ= 时， ．

∴铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为 （米）．

【解析】（1）将广场的面积化为正方形与弓形的面积和，求弓形面积利用扇形面积减去三角形的面积来计算；（2）铺设的4条线路OA，OB，OC，OD中OA，OB为圆的半径长，OC，OD长度相等，所以求得OC或OD的最小值即可求得4条线路总长度的最小值 .
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与圆的三种位置关系(直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点)．