Question

已知双曲线2x²-2y²=1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）求cos∠F₁PF₂的最小值．

Answer 1

分析：（1）解出|F₁F₂|=2，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，依定义写出标准方程．
（2）在△F₁PF₂中，利用余弦定理将cos∠F₁PF₂用mn表示出来，根据其形式应选择用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）依题意双曲线方程可化为

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，
则|F₁F₂|=2，
∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2．
∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a＞b＞0）．
由2a=4，2c=2，
得a=2，c=1，
∴b²=4-1=3．则所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
故动点P的轨迹E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设|PF₁|=m＞0，
|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，
则由m+n=4，|F₁F₂|=2，
可知在△F₁PF₂中，
cosθ=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1
∵m+n=4≥2

mn

∴mn≤4
∴cosθ≥

6

4

-1=

1

2

cos∠F₁PF₂的最小值是

1

2

点评：（1）考查椭圆的定义与椭圆的标准方程；（2）考查余弦定理与基本不等式求最值．是圆锥曲线与解三角形基本不等式知识的一个综合题，知识覆盖面较广．