分析 (1)设椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),由题意可得:c=1,a2=b2+c2.由2|F1F2|=|PF1|+|PF2|可得4c=2a,联立解出即可得出.
(2)利用椭圆的定义、余弦定理可得mn,再利用三角形面积计算公式即可得出.
解答 解:(1)设椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),由题意可得:c=1,a2=b2+c2.
由2|F1F2|=|PF1|+|PF2|可得4c=2a,即a=2c,联立解得:a=2,c=1,b2=3.
∴椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.
(2)设|PF1|=m,|PF2|=n.
则m+n=4,
∵∠F1PF2=60°,∴cos60°=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-{2}^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$,化为:m2+n2=mn+4,
∴(m+n)2=3mn+4,即42=3mn+4,解得mn=4.
∴△F1PF2的面积S=$\frac{1}{2}mnsin6{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了椭圆的定义标准方程、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,0] | B. | [-2,2] | C. | (-∞,2] | D. | [0,2] |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 120 | B. | 125 | C. | 130 | D. | 135 |
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