Question

15．己知双曲线和椭圆2x²+y²=8有公共焦点，求以它们交点为顶点的四边形面积最大时双曲线的方程．

Answer 1

分析 由题意设所求双曲线的方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），知a²+b²=8-4=4，联立椭圆方程和双曲线的方程求得交点，求出长方形的面积，由基本不等式可得最大值，求得a，进而得到双曲线的方程．

解答 解：椭圆2x²+y²=8即为$\frac{{y}^{2}}{8}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
由题意设所求双曲线的方程是$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题设知a²+b²=8-4=4，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+{y}^{2}=8}\\{（4-{a}^{2}）{y}^{2}-{a}^{2}{x}^{2}={a}^{2}（4-{a}^{2}）}\end{array}\right.$，
解得交点的坐标满足x²=4-a²，y²=2a²，
由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，
以它们的交点为顶点的四边形是长方形，
其面积S=4|xy|=4$\sqrt{4-{a}^{2}}$•$\sqrt{2}$a≤4$\sqrt{2}$•$\frac{4-{a}^{2}+{a}^{2}}{2}$=8$\sqrt{2}$，
当且仅当4-a²=a²，即为a=$\sqrt{2}$时，取得最大值8$\sqrt{2}$，
则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查椭圆和双曲线的关系，求它们的交点的四边形的面积最大时双曲线的方程，考查基本不等式的运用，属于中档题．