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若关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是


  1. A.
    (0,1]
  2. B.
    [0,1)
  3. C.
    (-∞,1)
  4. D.
    (-∞,1]
D
分析:运用集合中的补集思想来做此题.假设,函数关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0二根同时为负,则有x1+x2<0,x1x2=>0,取不等式的交集得出m的范围,再取其补集,最后再加上根的判别式△≥0这个条件,即可求出实数m的取值范围.
解答:若m=0,则关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0,即-3x+1=0,在(0,+∞)上有解x=,符合题意.
若m≠0时,关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0在(0,+∞)上有解,就是说不能二根同为负.
如果二根同时为负,设方程的两根为x1,x2,则有:
x1+x2=<0,且x1x2=>0,
解得:m>3,
所以至少有一正根时有:m≤3,
又判别式:(m-3)2-4m≥0,
即m2-10m+9≥0
即(m-9)(m-1)≥0
∴m≥9或者m≤1.
综上所述,若关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是m≤1.
故选D.
点评:本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
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D.(-∞,1]

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