Question

设关于x的函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值为f（a）．
（1）写出f（a）的表达式；
（2）试确定能使f(a)=

1

2

的a值，并求出此时函数y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据同角三角函数的基本关系进行化简，然后转化为关于cosx的一元二次函数，再根据一元二次函数的性质与cosx的范围确定函数f（x）的最小值f（a）．
（2）根据（1）中的f（a）的解析式确定f（a）=

1

2

的a的范围，进而令-

a2

2

-2a-1=

1

2

，求出a的值，最后将a的值代入到函数f（x）中即可根据cosx的范围和一元二次函数的性质可求出其最大值．

解答：解：（1）f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）=2（cosx-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1．
当a≥2时，则cosx=1时，f（x）取最小值，即f（a）=1-4a；
当-2＜a＜2时，则cosx=

a

2

时，f（x）取最小值，即f（a）=-

a2

2

-2a-1；
当a≤-2时，则cosx=-1时，f（x）取最小值，即f（a）=1；
综合上述，有f（a）=

1，a≤-2 - 1 2 a2-2a-1，-2＜a＜2 1-4a，a≥2.

（2）若f（a）=

1

2

，a只能在[-2，2]内．
解方程-

a2

2

-2a-1=

1

2

，得a=-1，和a=-3．因-1∈[-2，2]，故a=-1为所求，此时
f（x）=2（cosx+

1

2

）²+

1

2

；当cosx=1时，f（x）有最大值5．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和一元二次函数的基本性质．考查基础知识的综合应用和灵活运用．