Question

关于函数f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx，下列命题：
①若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立；   
②f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上是单调递增；    
③函数f（x）的图象关于点(

π

12

，0)成中心对称图象；   
④将函数f（x）的图象向左平移

5π

12

个单位后将与y=2sin2x的图象重合．
其中正确的命题序号

①③

（注：把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析：根据二倍角公式，可化简函数的解析式为正弦型函数的形式，根据函数的周期性可判断①；根据函数的单调性可判断②；根据函数的对称性可判断③；根据函数图象的变换法则可判断④．

解答：解：函数f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x=2sin（2x+

5π

6

）
由ω=2，故函数的周期为π，故x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立，故①正确；
由2x+

5π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]得，x∈[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+2kπ]（k∈Z），故[-

2π

3

，-

π

6

]是函数的单调增区间，区间[-

π

6

，

π

3

]应为函数的单调减区间，故②错误；
当x=

π

12

时，f（x）=0，故点(

π

12

，0)是函数图象的对称中心，故③正确；
函数f（x）的图象向左平移

5π

12

个单位后得到函数的解析式为f（x）=2sin[2（x+

5π

12

）+

5π

6

]=2sin（2x+

5π

3

），故④错误
故答案为：①③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．