Question

一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）若F为侧棱PA上的一点，且

PF

FA

=λ，则λ为何值时，PA⊥平面BDF？并求此时几何体F-BDC的体积．

Answer 1

分析：（1）由三视图可知该四棱锥底面为有一角为60°，边长为2的菱形，高为1的棱锥，顶点在底面的射影为底面中心，连接EO，利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）考虑到PA与BD垂直，故只需过O作PA的垂线，垂足F即为所求点F，如此再利用线面垂直的判定定理证明结论，求椎体的体积关键是求高，可过F作FH∥PO，则FH即为所求高，最后利用椎体体积计算公式即可得结果

解答：解：（1）由图形可知该四棱锥的底面ABCD是菱形，
且有一角为60°，边长为2，锥体高度为1．
设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，OE∥PB，EO?面EAC，PB?面EAC内，
∴PB∥面AEC．
（2）过O作OF⊥PA垂足为F
在Rt△POA中，PO=1，AO=

3

，PA=2，PO²=PF•PA，2PF=1
∴PF=

1

2

，FA=

3

2

，

PF

FA

=

1

3

在底面菱形中BD⊥AC，又因为PO⊥面ABCD，
所以BD⊥PO，
∴BD⊥面APO，PA?面APO
∴PA⊥BD，PA⊥OF，OF∩BD=O
所以PA⊥平面BDF
∴当λ=

1

3

时，PA⊥平面BDF
当

PF

FA

=

1

3

时，在△POA中过F作FH∥PO，则FH⊥面BCD，FH=

3

4

PO=

3

4

∴

S

△BCD

=

1

2

×2×

3

，
∴V=

1

3

S

△BCD

•FH=

1

3

×

3

4

×

3

=

3

4

．

点评：本题主要考查了空间线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，椎体体积的计算公式，由于点F为动点，故本题属探究型题