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15.已知长方体的宽与高相等,其外接球的半径为2,则长方体体积的最大值为$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$.

分析 设长、宽、高分别为a、b、b,则a2+b2+b2=16,即a2+2b2=16,求出长方体体积的表达式,利用导数,确定函数的单调性,即可求出长方体体积的最大值.

解答 解:设长、宽、高分别为a、b、b,则a2+b2+b2=16,即a2+2b2=16,
${V_{长方体}}=a{b^2}=a×\frac{{(16-{a^2})}}{2}$,
令$f(x)=\frac{{x(16-{x^2})}}{2}=\frac{{16x-{x^3}}}{2}$,则${f^'}(x)=8-\frac{3}{2}{x^2}=0$,
解得$x=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$(舍去)或$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$,
当$x∈(0,\frac{{4\sqrt{3}}}{3})$时,f′(x)>0,$x∈(\frac{{4\sqrt{3}}}{3},+∞)$时,f′(x)<0,
所以$f{(x)_{max}}=f(\frac{{4\sqrt{3}}}{3})=\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$,即长方体体积的最大值为$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$.
故答案为:$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$.

点评 本题考查长方体体积的最大值,考查导数知识的运用,正确求出长方体体积,利用导数是关键.

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