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已知椭圆E:的上顶点为M(0,1),两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,求此时椭圆E的方程;
(2)若直角三角形MAB的面积的最大值为,求a的值;
(3)对于给定的实数a(a>1),动直线是否经过一个定点?如果经过,求出该定点的坐标(用a表示)否则,说明理由.
【答案】分析:(1)求出坐标原点到椭圆E的准线距离最短时c=1,利用a2=b2+c2,即可求得椭圆E的方程;
(2)设直线MA的方程为y=kx+1,直线MB的方程为,分别代入椭圆E的方程,求得A、B的坐标,从而可求直角三角形MAB的面积,利用最大值为,可求a的值;
(3)由(2)知直线l的斜率,从而可求直线l的方程,由此可得直线l过定点.
解答:解:(1)坐标原点到椭圆E的准线距离为,当且仅当c=1时,坐标原点到椭圆E的准线距离最短
∵c=1,b=1,∴a2=b2+c2,∴a2=2
∴椭圆E的方程为
(2)由MA⊥MB,可知直线MA与坐标轴不垂直,
故可设直线MA的方程为y=kx+1,直线MB的方程为
将y=kx+1代入椭圆E的方程,整理得  (1+a2k2)x2+2a2kx=0
解得x=0或,故点A的坐标为
同理,点B的坐标为
=
=
解得a=3
(3)由(2)知直线l的斜率为=
直线l的方程为,即
∴直线l过定点
点评:本题考查椭圆方程,考查三角形的面积,考查直线过定点,解题的关键是正确求出三角形的面积、直线的方程.
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