Question

7．设关于x的两个方程x²-ax+1=0，x²-bx+1=0的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab=$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 根据等比数列的性质结合一元二次方程根与系数之间的关系进行求解．

解答 解：设以2为公比成等比数列的四个根依次为m，2m，4m，8m（m≠0）．
则根据等比数列的性质可得m•8m=2m•4m，
∵两方程的常数项均为1，
∴m•8m=2m•4m=1，
即m²=$\frac{1}{8}$．
不妨设m、8m是方程x²-ax+1=0的两根，
而2m、4m是方程x²-bx+1=0的两根，
则a=m+8m=9m，b=2m+4m=6m
则ab=9m×6m=54m²=$\frac{1}{8}$×54=$\frac{27}{4}$．
故答案为：$\frac{27}{4}$

点评 本题主要考查等比数列的性质的应用，结合一元二次方程根与系数之间的关系是解决本题的关键．