Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AB=1，BC=2．E，F分别为BC，PD的中点．
①求证：EF∥平面PAB．
②求证：DE⊥平面PAE．
③求二面角P-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析：①取PA的中点G，连接BG，PG，证明FG

∥

.

EB，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAB．
②证明PA⊥DE，AE⊥ED，以及PA∩AE=A，证明DE⊥平面PAE．
③判断∠PEA就是二面角P-DE-A的二面角的平面角，然后直接求解即可．

解答：解：①证明：取PA的中点G，连接BG，PG，
因为E，F分别为BC，PD的中点．
所以FG

∥

.

1

2

AD=EB，所以四边形BEFG是平行四边形，
因为EF?平面PAB，BG?平面PAB，
所以EF∥平面PAB．（4分）   
②证明：因为PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DE，
底面ABCD是矩形，且PA=AB=1，BC=2．E是BC的中点．
所以AE=

2

，ED=

2

，AD=2，∴AE⊥ED，又PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE．（4分）   
③解：由②可知∠PEA就是二面角P-DE-A的二面角的平面角，
二面角P-DE-A的余弦值，cosα=

AE

PE

= 

AE

PA2+AE2

= 

2

1+2

=

6

3

（4分）

点评：本题考查二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．