Question

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，-3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．
（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4-n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．

解答：解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4-n件．
由题设知4n-（4-n）≥10，
解得n≥

14

5

，
又n∈N，得n=3，或n=4．
所求概率为P=C₄³×0.8³×0.2+0.8⁴=0.8192
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查独立重复试验的概率公式，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为高考题的解答题目出现．