Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

Answer 1

(1) +=1   (2) 直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点，理由见解析

解:(1)因为焦距为4,
所以a²-b²=4.
又因为椭圆C过点P(,),
所以+=1,
故a²=8,b²=4,
从而椭圆C的方程为+=1.
(2)一定有唯一的公共点.
由题意,E点坐标为(x₀,0).
设D(x_D,0),则=(x₀,-2),=(x_D,-2).
再由AD⊥AE知, ·=0,
即x_Dx₀+8=0.
由于x₀y₀≠0,故x_D=-.
因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G（,0）.
故直线QG的斜率k_QG==.
又因Q(x₀,y₀)在椭圆C上,
所以+2=8.①
从而k_QG=-.
故直线QG的方程为
y=-（x-）.②
将②代入椭圆C方程,得
(+2)x²-16x₀x+64-16=0.③
再将①代入③,化简得
x²-2x₀x+=0.
解得x=x₀,y=y₀,
即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.