Question

解答题

已知a，b，c均为实数，函数f(x)＝ax²＋bx＋c与g(x)＝ax＋b，且当－1≤x≤1时，恒有|f(x)|≤1．证明：(1)|c|≤1；(2)|g(x)|≤2．

Answer 1

答案：
解析：

①令x＝0，则f(0)＝c． 　　∵当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，∴|c|≤1． 　　②当a＞0，g(x)＝ax＋b在[－1，1]上是增函数， 　　∴g(－1)≤g(x)≤g(1)． 　　∵|f(x)|≤1，|c|≤1，(当－1≤x≤1时)， 　　∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2， 　　g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(1)＋|c|)≥－2， 　　∴－2≤g(x)≤2，∴|g(x)|≤2． 　　当a＜0时，g(x)在[－1，1]上是减函数． 　　∴g(1)≤g(x)≤g(－1)． 　　∵|f(x)|≤1，|c|≤1(当－1≤x≤1时) 　　∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2， 　　g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2， 　　∴－2≤g(x)≤2，∴|g(x)|≤2． 　　综合以上，|g(x)|≤2．