Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是侧面对角线AB₁、BC₁的中点，
（1）求证：EF∥平面ABCD
（2）求两条异面直线AB₁与BC₁所成的角．

Answer 1

解：（1）证明：如图，取BB₁的中点M，∵点E、F分别是侧面对角线AB₁、BC₁的中点，
由三角形中位线的性质可得 EM∥AB，而AB?平面ABCD，EM不在平面ABCD内，∴EM∥平面ABCD．
同理可证 FM∥平面A₁B₁C₁D₁ ，由平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁ ，
可得FM∥平面ABCD．
由EM∩FM=M，可得平面EFM∥平面ABCD．
∵EF?平面EFM，∴EF∥平面ABCD．
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AB₁∥BC₁，∴∠D₁AB₁ 即为所求．
△D₁AB₁中，三边长都相等，都等于AB，故△D₁AB₁是等边三角形，故∠D₁AB₁=60°．
故两条异面直线AB₁与BC₁所成的角等于60°．
分析：（1）如图，取BB₁的中点M，由三角形中位线的性质可得 EM∥AB，证明EM∥平面ABCD，FM∥平面A₁B₁C₁D₁ ，从而证明FM∥平面ABCD，可得平面EFM∥平面ABCD，再由两个平面平行的性质可得 EF∥平面ABCD．
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AB₁∥BC₁，可得∠D₁AB₁ 即为所求．再根据△D₁AB₁是等边三角形，可得∠D₁AB₁=60°，从而求得两条异面直线AB₁与BC₁所成的角．
点评：本题考查证明线面平行、面面平行的方法，直线和平面平行、两个平面平行的判定定理的应用，异面直线所成的角的定义和求法，体现了数形结合的数学思想．