Question

10．已知函数f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的图象过原点和点P（2，$\frac{2}{3}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据条件，建立方程关系即可得到结论．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的图象过原点，
∴f（0）=0，则c=0，
则f（x）=$\frac{bx}{x+1}$，
∵函数过点P（2，$\frac{2}{3}$）．
∴f（2）=$\frac{2b}{2+1}=\frac{2b}{3}$=$\frac{2}{3}$，
则b=1，
即f（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增，
设0＜x₁＜x₂，
∵f（x）=$\frac{x}{x+1}$=$\frac{x+1-1}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$-1+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{{x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．