Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆O1：（x+a）2+y2=4，圆O2：（x﹣a）2+y2=4，其中常数a＞2，点P是圆O1 ， O2外一点．
（1）若a=3，P（﹣1，4），过点P作斜率为k的直线l与圆O1相交，求实数k的取值范围；
（2）过点P作O1 ， O2的切线，切点分别为M1 ， M2 ， 记△PO1M1 ， △PO2M2的面积分别为S1 ， S2 ， 若S1= S2 ， 求点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=3，圆O1：（x+3）2+y2=4的圆心坐标为（﹣3，0），半径为2，

设直线l的方程为y﹣4=k（x+1），即kx﹣y+k+4=0，

圆心到直线的距离d= ≤2，∴k≥ ；

（2）解：设P（x，y），

∵S1= S2，

∴ |PM1|×2= |PM2|×2，

∴|PM1|= |PM2|，

∴|PO1|2﹣4=（a+1）（|PO2|2﹣4）

∴（x+a）2+y2﹣4=（a+1）[（x﹣a）2+y2﹣4]．

即点P的轨迹方程为x2+y2﹣2（a+2）+a2﹣4=0．

【解析】（1）过点P作斜率为k的直线l与圆O1相交，圆心到直线的距离d= ≤2，即可求实数k的取值范围；（2）利用S1= S2 ， 直接求点P的轨迹方程．