Question

【题目】平面内与两定点，连线的斜率之积等于的点的轨迹，加上、两点所成的曲线为.若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点、满足.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）首先设出，根据斜率之积等于得到，再化简即可得到曲线的轨迹方程.

（2）分别讨论的斜率存在和不存在时，根据，设出直线方程与椭圆联立，利用根系关系得到直线恒过，再将面积转化为，利用根系关系和对勾函数的单调性即可得到面积的最大值.

（1）设曲线上任意一点，，，

，

整理得：.

又曲线加上，两点，所以曲线的方程是：.

（2）由题意可知，设，，

当的斜率存在时，设直线：，

联立方程组：，得到，

则，.

，，

因为，所以有，

，

，

化简得到，解得：或（舍）.

当的斜率不存在时，

易知满足条件的直线为：.

因此，直线恒过定点.

所以，

，

因为，所以.

设，.

由对勾函数的单调性得到在为增函数，

所以.

即：（时取到最大值）.

所以面积的最大值为.