Question

3．过抛物线y²=2px（p为大于0的常数）的焦点F，作与坐标轴不垂直的直线l交抛物线于M，N两点，线段MN的垂直平分线交MN于P点，交x轴于Q点，求PQ中点R的轨迹L的方程．

Answer 1

分析 由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程为$y=k（x-\frac{p}{2}）$（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到P点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得PQ的中点R的轨迹L的方程．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点为$（\frac{p}{2}，0）$，设l的直线方程为$y=k（x-\frac{p}{2}）$（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2px\\ y=k（x-\frac{p}{2}）\end{array}\right.$得${k^2}{x^2}-（p{k^2}+2p）x+\frac{1}{4}{p^2}{k^2}=0$，设M，N的横坐标分别为x₁，x₂，
则${x_1}+{x_2}=\frac{{p{k^2}+2p}}{k^2}$，得${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}$，${y_P}=k（\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}-\frac{p}{2}）=\frac{p}{k}$，
而PQ⊥l，故PQ的斜率为$-\frac{1}{k}$，PQ的方程为$y-\frac{p}{k}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}）$．
代入y_Q=0得${x_Q}=p+\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}=\frac{{3p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}$．
设动点R的坐标（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}（{x_P}+{x_Q}）=p+\frac{p}{k^2}\\ y=\frac{1}{2}（{y_P}+{y_Q}）=\frac{p}{2k}\end{array}\right.$，因此$p（x-p）=\frac{p^2}{k^2}=4{y^2}（y≠0）$，
故PQ中点R的轨迹L的方程为4y²=p（x-p）（y≠0）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了学生的灵活变形能力和整体运算能力，灵活性强，属于中档题．