Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（Ⅲ）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．

Answer 1

分析：（1）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB，进一步易得平面COD⊥平面AOB
（2）解法一：求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角
解法二：以O为坐标原点，分别以OC、OB、OA为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（3）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（3）问作铺垫的．求直线与平面所成的角，首先要作出这个平面的垂线，由第（1）问可知：CO⊥平面AOB，所以∠CDO是CD与平面AOB所成的角，tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

，当OD最小时，tan∠CDO最大

解答：解：（I）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．
又DE=

1

2

AO=

3

．
∴CD=

CE2+DE2

=2

2

∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

3

2 2

=

6

4

．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为

6

4

．（9分）

解法二：建立空间直角坐标系O-xyz，如图，
则O（0，0，0），A(0，0，2

3

)，C（2，0，0），D(0，1，

3

)，
∴

OA

=(0，0，2

3

)，

CD

=(-2，1，

3

)，
∴cos＜

OA

，

CD

＞=

OA • CD

| OA |•| CD |

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为

6

4

．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且tanCDO=

OC

OD

=

2

OD

．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，OD=

OA•OB

AB

=

3

，tanCDO=

2 3

3

，
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为

2 3

3

．（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、异面直线所成的角的度量、线面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力