Question

已知命题p：夹角为m的单位向量a，b使|a-b|＞l，命题q：函数f（x）=msin（mx）的导函数为f′（x），若?x_o∈R，．设符合p∧q为真的实数m的取值的集合为A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x²=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵|-|＞1，||=||=1
∴²+²-2•=2-2cosm＞1
∴cosm＜
∵0≤m≤π
∴＜m≤π
即命题p为真时，m的取值对应的集合P=（，π]
函数f（x）=msin（mx）的导函数f′（x）=m²cos（mx），
若?x_o∈R，．则f′（x）_max=m²≥
解得m≤-或m≥，
p∧q为真，即p和q都为真，此时有＜m≤π且m≤-或m≥，
即≤m≤π
故实数m的取值的集合为A=[，π]．
（II）（1）若B=∅，满足B∩A=∅，
此时实数a的取值范围a＜0；
（2）若B≠∅，则a≥0，此时B={x|x=±}，
由B∩A=∅，得，或，
∴0≤a≤，或a．
综上，实数a的取值范围是（-∞，]∪[，+∞）．
分析：（I）分别求出命题为真时，参数的范围，再根据p∧q为真，则p真q真，建立不等式组，从而可求实数m的取值范围．
（II）由条件A∩B=φ，对字母a分类讨论，我们易构造出一个关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围．
点评：本题的考点是集合的包含关系判断及应用，主要考查集合的关系、集合的运算，同时考查向量运算与导数的应用．集合关系中的参数取值问题，其中根据已知条件，构造出关于a的不等式组，是解答本题的关键．本题是一个中档题目．