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某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是
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,每次测试通过与否互相独立.规定:若前4次都没有通过测试,则第5次不能参加测试.
(Ⅰ)求该学生考上大学的概率.
(Ⅱ)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
分析:(Ⅰ)该学生考上大学的概率等于1减去该学生考不上大学的概率.考不上大学包括:①前4次测试只通过了一次,且第五次没有通过,②前4次都没有通过测试.
(Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为2,3,4,5,求出ξ取每个值的概率,即得ξ的分布列,由分布列求变量数学期望
Eξ 的值.
解答:解:(Ⅰ)记“该生考上大学”的事件为事件A,其对立事件为
.
A
,则P(
.
A
)=
C
1
4
(
1
3
)(
2
3
)3(
2
3
)+(
2
3
)4=
64
243
+
16
81
=
112
243

P(A)=1-P(
.
A
)=1-
112
243
=
131
243
.(6分)
(Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为2,3,4,5.
P(ξ=2)=(
1
3
)2=
1
9
P(ξ=3)=
C
1
2
.
1
3
.
2
3
.
1
3
=
4
27

. P(ξ=4)=
C
1
3
1
3
(
2
3
)
2
1
3
=
4
27

由于规定:若前4次都没有通过测试,则第5次不能参加测试,
当ξ=5时的情况,说明前4次只通过了1次,但不必考虑第5次是否通过.
P(ξ=5) = 
C
1
4
1
3
(
2
3
)
3
=
32
81

故ξ的分布列为:
ξ 2 3 4 5
1
9
4
27
4
27
32
81
 
Eξ=2×
1
9
+3×
4
27
+4×
4
27
+5×
32
81
=
114
27
=
264
81
. (12分)
点评:本题考查用间接解法求独立事件的概率(1减去其对立事件的概率),以及球离散型随机变量的分布列、数学期望的方法.
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某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行4次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不再参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加4次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是
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,每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立.
(Ⅰ)求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率;
(Ⅱ)如果考上大学或参加完4次测试,那么测试就结束.记该生参加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.

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某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是
13
,每次测试通过与否相互独立.规定:若前4次都没有通过测试,则第5次不能参加测试.
(1)求该学生考上大学的概率;
(2)如果考上大学或参加完5次考试就结束,求该生至少参加四次考试的概率.

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科目:高中数学 来源: 题型:

某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中的2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加后面的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试,假设某学生每次通过测试的概率都是
13
,每次测试通过与否相互独立.规定:若前4次都没有通过测试,则第5次不能参加测试.
(1)求该学生恰好经过4次测试考上大学的概率;
(2)求该学生考上大学的概率.

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科目:高中数学 来源: 题型:

某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是
13
,每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立.
(1)求该学生考上大学的概率.
(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.

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科目:高中数学 来源: 题型:

某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是
13
,每次测试通过与否互相独立.规定:若前4次都没有通过测试,则第5次不能参加测试.
(I)求该学生考上大学的概率;
(II)如果考上大学或参加完5次测试就结束,求该生参加测试的次数为4的概率.

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