Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=4a_n-1+1（n≥2）．
（1）令b_n=a_n+$\frac{1}{3}$，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=4a_n-1+1（n≥2）．即有a_n+$\frac{1}{3}$=4（a_n-1+$\frac{1}{3}$），由等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 （1）证明：由于a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=4a_n-1+1（n≥2）．
即有a_n+$\frac{1}{3}$=4（a_n-1+$\frac{1}{3}$），
则数列{b_n}是公比为4，首项为$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$的等比数列；
（2）解：由（1）可得b_n=$\frac{5}{6}$•4^n-1，
则前n项和T_n=$\frac{\frac{5}{6}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{5}{18}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查等比数列的定义、通项和求和公式的运用，注意构造数列的思想方法，属于中档题．