【题目】(本小题满分12分)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点在
轴正半轴上,过点
的直线交抛物线于
两点,线段
的长是
,
的中点到
轴的距离是
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点,使得过点
的直线交抛物线于另一点
,满足
,且直线
与抛物线在点
处的切线垂直?并请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点
.
【解析】试题分析:(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置,开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程;(2)在解决与抛物线性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此;(3)解决直线和抛物线的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与抛物线的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式
:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.
试题解析:(1)设抛物线的方程是,
,
由抛物线定义可知2分
又中点到
轴的距离为3,∴
,∴p=2,
所以抛物线的标准方程是. 4分
(2)设,则
在
处的切线方程是
,
直线代入
得
, 6分
故,所以
8分
而10分
,得
,所以
,
存在点. 12分
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【题目】函数f(x)= 是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,且f(2)=
,
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义法证明f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
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【题目】设集合A={x|ax2+bx+1=0}(a∈R,b∈R),集合B={﹣1,1}.
(1)若BA,求实数a的值;
(2)若A∩B≠,求a2﹣b2+2a的值.
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【题目】已知集合A={x|x2﹣3x<0},B={x|(x+2)(4﹣x)≥0},C={x|a<x≤a+1}.
(1)求A∩B;
(2)若B∪C=B,求实数a的取值范围.
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【题目】一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A.57.2,3.6
B.57.2,56.4
C.62.8,63.6
D.62.8,3.6
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【题目】某学校的特长班有50名学生,其中有体育生20名,艺术生30名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于50次/分到75次/分之间,现将数据分成五组,第一组,第二组
,…,第五组
,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
(Ⅰ)求的值,并求这50名同学心率的平均值;
(Ⅱ)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为0.8,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: ,其中
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计 | 50 |
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